关于随机微分方程的论文

1.微分方程在经济学中的常作用应用1500字论文

1500字太夸张了,给你一下提示吧!

1、运用微分方程或微分方程组,可以描述经济系统的动态运行规律。

2、运用微分方程,可以分析经济系统的均衡与稳定性。

3、在微分方程中加入控制变量,将经济学问题转化为最优控制问题,可以分析经济系统的最优控制策略。

目前比较常用的微分方程在经济学中的应用有:(1)最早的哈罗德-多马经济增长模型、索罗模型等均属于微分方程(或转化为差分方程)模型。(2)后来的经济增长的世代交替模型等也是运用的微分方程。(3)技术扩散的巴斯模型,以及分析竞争洛克塔-瓦塔利亚模型也是微分方程模型。(4)亚瑟的路径依赖与锁定模型是随机微分方程。(5)布莱克-斯科尔斯期权定价模型,源于随机微分方程和变分法。(6)各种进化博弈模型中的复制动态方程是微分方程。

2.微分方程在经济学中的常作用应用1500字论文

1500字太夸张了,给你一下提示吧!1、运用微分方程或微分方程组,可以描述经济系统的动态运行规律。

2、运用微分方程,可以分析经济系统的均衡与稳定性。3、在微分方程中加入控制变量,将经济学问题转化为最优控制问题,可以分析经济系统的最优控制策略。

目前比较常用的微分方程在经济学中的应用有:(1)最早的哈罗德-多马经济增长模型、索罗模型等均属于微分方程(或转化为差分方程)模型。(2)后来的经济增长的世代交替模型等也是运用的微分方程。

(3)技术扩散的巴斯模型,以及分析竞争洛克塔-瓦塔利亚模型也是微分方程模型。(4)亚瑟的路径依赖与锁定模型是随机微分方程。

(5)布莱克-斯科尔斯期权定价模型,源于随机微分方程和变分法。(6)各种进化博弈模型中的复制动态方程是微分方程。

3.求一篇关于微积分应用的小论文(两千字就行)

高数论文 什么是微积分?它是一种数学思想,‘无限细分’就是微分,‘无限求和’就是积分。

无限就是极限,极限的思想是微积分的基础,它是用一种运动的思想看待问题。比如,子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念,子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念 如果将整个数学比作一棵大树,那么初等数学是树的根,名目繁多的数学分支是树枝,而树干的主要部分就是微积分。

微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始,随着社会的进步和生产力的发展,以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决,数学也开始研究变化着的量,数学进入了“变量数学”时代,即微积分不断完善成为一门学科。

整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究,但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。 从微积分成为一门学科来说,是在17世纪,但是,微分和积分的思想早在古代就已经产生了。

公元前3世纪,古希腊的数学家、力学家阿基米德(公元前287—前212)的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽,他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。作为微积分的基础极限理论来说,早在我国的古代就有非常详尽的论述,比如庄周所著的《庄子》一书中的“天下篇”中,著有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。

三国时期的刘徽在他的割圆术中提出“割之弥细,所失弥少,割之又割以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”。他在1615年《测量酒桶体积的新科学》一书中,就把曲线看成边数无限增大的直线形。

圆的面积就是无穷多个三角形面积之和,这些都可视为典型极限思想的佳作。意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》,就把曲线看成无限多条线段(不可分量)拼成的。

这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备。 17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展,不但已有的数学成果得到进一步巩固、充实和扩大,而且由于实践的需要,开始研究运动着的物体和变化的量,这样就获得了变量的概念,研究变化着的量的一般性和它们之间的依赖关系。

到了17世纪下半叶,在前人创造性研究的基础上,英国大数学家、物理学家艾萨克·牛顿(1642-1727)是从物理学的角度研究微积分的,他为了解决运动问题,创立了一种和物理概念直接联系的数学理论,即牛顿称之为“流数术”的理论,这实际上就是微积分理论。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷极数》。

这些概念是力学概念的数学反映。牛顿认为任何运动存在于空间,依赖于时间,因而他把时间作为自变量,把和时间有关的固变量作为流量,不仅这样,他还把几何图形——线、角、体,都看作力学位移的结果。

因而,一切变量都是流量。 牛顿指出,“流数术”基本上包括三类问题。

(l)“已知流量之间的关系,求它们的流数的关系”,这相当于微分学。 (2)已知表示流数之间的关系的方程,求相应的流量间的关系。

这相当于积分学,牛顿意义下的积分法不仅包括求原函数,还包括解微分方程。 (3)“流数术”应用范围包括计算曲线的极大值、极小值、求曲线的切线和曲率,求曲线长度及计算曲边形面积等。

牛顿已完全清楚上述(l)与(2)两类问题中运算是互逆的运算,于是建立起微分学和积分学之间的联系。 牛顿在1665年5月20目的一份手稿中提到“流数术”,因而有人把这一天作为诞生微积分的标志。

莱布尼茨使微积分更加简洁和准确 而德国数学家莱布尼茨(G.W.Leibniz 1646-1716)则是从几何方面独立发现了微积分,在牛顿和莱布尼茨之前至少有数十位数学家研究过,他们为微积分的诞生作了开创性贡献。但是池们这些工作是零碎的,不连贯的,缺乏统一性。

莱布尼茨创立微积分的途径与方法与牛顿是不同的。莱布尼茨是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积,运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则的。

牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学,造诣较莱布尼茨高一筹,但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于牛顿一筹,既简洁又准确地揭示出微积分的实质,强有力地促进了高等数学的发展。 莱布尼茨创造的微积分符号,正像印度——阿拉伯数码促进了算术与代数发展一样,促进了微积分学的发展,莱布尼茨是数学史上最杰出的符号创造者之一。

牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了,而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用。莱布尼茨比别人更早更明确地认识到,好的符号能大大节省思维劳动,运用符号的技巧是数学成功的关键之一。

4.随机过程的发展过程

随时间推进的随机现象的数学抽象。例如,某地第n年的年降水量xn由于受许多随机因素的影响,它本身具有随机性,因此{xn,n=1,2,…}便是一个随机过程。类似地,森林中某种动物的头数,液体中受分子碰撞而作布朗运动的粒子位置,百货公司每天的顾客数,等等,都随时间变化而形成随机过程。严格说来,现实中大多数过程都具有程度不同的随机性。

气体分子运动时,由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度,其运动的过程是随机的。人们希望知道,运动的轨道有什么性质(是否连续、可微等等)?分子从一点出发能达到某区域的概率有多大?如果有两类分子同时运动,由于扩散而互相渗透,那么扩散是如何进行的,要经过多久其混合才会变得均匀?又如,在一定时间内,放射性物质中有多少原子会分裂或转化?电话交换台将收到多少次呼唤?机器会出现多少次故障?物价如何波动?这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。

一些特殊的随机过程早已引起注意,例如1907年前后,Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量,后人称之为马尔可夫链(见马尔可夫过程);又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义(后人也称数学上的布朗运动为维纳过程),这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此,随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。

1931年,Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》;三年后,Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后,P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书,其中蕴含着丰富的概率思想。

1953年,J.L.杜布的名著《随机过程论》问世,它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分),为研究马尔可夫过程开辟了新的道路;由于鞅论的进展,人们讨论了关于半鞅的随机微分方程;而流形上的随机微分方程的理论,正方兴未艾。

60年代,法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果,在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论,包括截口定理与过程的投影理论等,中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。

5.随机过程的发展史和背景

随机过程的发展 随时间推进的随机现象的数学抽象。

例如,某地第n年的年降水量xn由于受许多随机因素的影响,它本身具有随机性,因此{xn,n=1,2,…}便是一个随机过程。类似地,森林中某种动物的头数,液体中受分子碰撞而作布朗运动的粒子位置,百货公司每天的顾客数,等等,都随时间变化而形成随机过程。

严格说来,现实中大多数过程都具有程度不同的随机性。 气体分子运动时,由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度,其运动的过程是随机的。

人们希望知道,运动的轨道有什么性质(是否连续、可微等等)?分子从一点出发能达到某区域的概率有多大?如果有两类分子同时运动,由于扩散而互相渗透,那么扩散是如何进行的,要经过多久其混合才会变得均匀?又如,在一定时间内,放射性物质中有多少原子会分裂或转化?电话交换台将收到多少次呼唤?机器会出现多少次故障?物价如何波动?这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。 一些特殊的随机过程早已引起注意,例如1907年前后,Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量,后人称之为马尔可夫链(见马尔可夫过程);又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义(后人也称数学上的布朗运动为维纳过程),这种过程至今仍是重要的研究对象。

虽然如此,随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。1931年,Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》;三年后,Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。

这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后,P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书,其中蕴含着丰富的概率思想。

1953年,J.L.杜布的名著《随机过程论》问世,它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分),为研究马尔可夫过程开辟了新的道路;近年来由于鞅论的进展,人们讨论了关于半鞅的随机微分方程;而流形上的随机微分方程的理论,正方兴未艾。

60年代,法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果,在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论,包括截口定理与过程的投影理论等,中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。 研究随机过程的方法是多样的,主要可分为两大类:一是概率方法,其中用到轨道性质、停时、随机微分方程等;另一是分析方法,工具是测度论、微分方程、半群理论、函数论、希尔伯特空间等。

但许多重要结果往往是由两者并用而取得的。此外,组合方法、代数方法在某些特殊随机过程的研究中也起一定的作用。

研究的主要课题有:多指标随机过程、流形上的随机过程与随机微分方程以及它们与微分几何的关系、无穷质点马尔可夫过程、概率与位势、各种特殊过程的专题讨论等。 随机过程论的强大生命力来源于理论本身的内部,来源于其他数学分支如位势论、微分方程、力学、复变函数论等与随机过程论的相互渗透和彼此促进,而更重要的是来源于生产活动、科学研究和工程技术中的大量实际问题所提出的要求。

目前随机过程论已得到广泛的应用,特别是对统计物理、放射性问题、原子反应、天体物理、化学反应、生物中的群体生长、遗传、传染病问题、排队论、信息论、可靠性、经济数学以及自动控制、无线电技术等的作用更为显著。 随机过程的定义 设 (Ω,F,p)为概率空间(见概率),T为指标t的集合(通常视t为时间),如果对每个t∈T,有定义在Ω上的实随机变量x(t)与之对应,就称随机变量族x={x(t),t∈T}为一随机过程(简称过程)。

研究得最多的是T 为实数集R=(-∞,∞)的子集的情形;如果T为整数n的集,也称{xn}为随机序列。如果T是d维欧几里得空间Rd(d为大于1的正整数)的子集,则称x为多指标随机过程。

过程x实际上是两个变元(t,ω)(t∈T,ω ∈Ω)的函数,当t固定时,它是一个随机变量;当ω固定时,它是t的函数,称此函数为随机过程(对应于ω)的轨道或样本函数。 如不限于实值情况,可将随机变量与随机过程的概念作如下一般化:设(E,ε)为可测空间(即E为任意非空集,ε为E的某些子集组成的σ域),称x=(x(ω), ω∈Ω)为取值于E的随机元,如果对任一B∈ε,{ω:x(ω)∈B}∈F。

特别,如果为Rd中全体波莱尔集所成的σ域(称波莱尔域),则取值于Rd中的随机元即d维随机向量。如果其中RT为全体实值函数ƒ=(ƒ(t),t∈T)的集,而为包含一切RT中有限维柱集 的最小σ域,则取值于E的随机元x 即为上述的(实值)随机过程。

如对每个t∈T,有取值于E 的随机元x(t)与之对应,则称{x(t),t∈T}为取值于E的随机过程。 以下如无特别声明,只讨论取值于(R 1,B1)的随机过程。

有穷维分布族 一维分布函数描述了随机变量取值的概率规律(见概率分布),对随机过程x={x(t),t∈T}起类似作用的是它的全体有穷维分布函数:对任意 n个tj∈T,i=1,2,…,n,考虑的联合分布函数,,全体联合分布称为x 的有穷维分布族,它显然满足下列相容性条件: ① 对(1,2,…,n)的任一排列(λ1,λ2,…,λn), ; ② 若m

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